Урок 4. Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение

На прошлых занятиях мы разобрались, что такое физическая величина и как честно записать результат измерения. Теперь у нас есть всё необходимое, чтобы взяться за первую настоящую физическую задачу — описать движение. Простейший объект, с которым работает механика, — материальная точка, движущаяся вдоль прямой линии. Сегодня разберём два самых важных для этого случая закона: движение с постоянной скоростью и движение с постоянным ускорением. Почти всё дальнейшее кинематическое зверьё — падение тел, торможение автомобиля, разгон ракеты на старте — сводится именно к этим двум моделям или их комбинациям.

1. Равномерное прямолинейное движение

Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковый путь, а скорость остаётся постоянной и по модулю, и по направлению.

Скорость такого движения находится просто:

$v=\frac{s}{t}$, где s — пройденный путь, t — время движения.

Отсюда сразу получается закон движения — формула, которая даёт координату тела в любой момент времени:

$x=x₀+vt$, где x₀ — начальная координата, v — скорость (с учётом знака: вдоль оси Ox или против неё).

Знак v здесь не формальность: если тело движется в сторону возрастания координаты, v>0; если против оси — v<0, и координата со временем уменьшается. Путь при этом всегда $s=\left|v\right|·t$ — путь не бывает отрицательным, а вот координата и скорость как проекции на ось могут быть.

Удобнее всего эти факты видны на графиках:

График координаты x(t) — прямая линия, и её наклон (тангенс угла к оси времени) равен именно скорости: чем круче прямая, тем быстрее движется тело. График скорости v(t) — горизонтальная прямая, потому что скорость не меняется. Обратите внимание на площадь под этим графиком: прямоугольник высотой v и основанием t имеет площадь v·t — то есть в точности пройденный путь. Этот факт («путь = площадь под графиком скорости») работает не только для равномерного движения — он понадобится нам уже в следующем разделе.

Заметьте. «Скорость постоянна» для прямолинейного движения означает не только постоянство модуля, но и то, что тело не разворачивается: направление движения на всём пути одно и то же. Если тело едет вперёд, потом останавливается, потом едет назад с той же по модулю скоростью — это уже не равномерное движение как единый процесс, а два отдельных участка равномерного движения с разными знаками v.

2. Ускорение и равноускоренное движение

В реальности скорость почти никогда не остаётся постоянной: автомобиль трогается с места, поезд тормозит перед станцией, camera падающий мяч разгоняется. Чтобы описывать такие движения, вводят новую величину:

Ускорение — физическая величина, показывающая, как быстро меняется скорость тела:

$a=\frac{v-v₀}{t}$, где v₀ — скорость в начальный момент, v — скорость спустя время t.

Единица ускорения в СИ — м/с² (метр на секунду в квадрате): это означает, на сколько метров в секунду меняется скорость за каждую секунду движения. Ускорение — величина векторная, но для прямолинейного движения достаточно следить за его знаком.

Равноускоренное прямолинейное движение — движение, при котором ускорение постоянно и по модулю, и по направлению (для прямой — попросту постоянно по знаку и величине).

Из определения ускорения сразу выражается скорость в любой момент времени:

$v=v₀+at$

Заметьте. Слово «ускоренное» в быту значит «набирает скорость», но в физике оно означает лишь «скорость меняется с постоянной скоростью изменения» — а меняться она может и в меньшую сторону. Если знаки v₀ и a противоположны, тело тормозит: модуль скорости уменьшается, хотя формально это тоже равноускоренное движение, просто с отрицательным (по отношению к направлению движения) ускорением. Автомобиль, тормозящий перед светофором, разгоняющийся мотоцикл и подброшенный вверх камень на пути вверх — все три описываются одной и той же формулой $v=v₀+at$, только с разными знаками величин.

3. Путь при равноускоренном движении: площадь под графиком скорости

Мы уже заметили, что путь — это площадь под графиком v(t). Для равноускоренного движения этот график — не горизонтальная прямая, а наклонная (v растёт линейно с t), и фигура под ней — трапеция. Трапецию удобно разбить на два простых куска:

Прямоугольник даёт вклад v₀·t (тот путь, который тело прошло бы, если бы скорость так и осталась равна v₀), треугольник добавляет ещё $\frac{at²}{2}$ — «довесок» от того, что скорость всё это время росла. Складывая, получаем главную формулу движения:

$s=v₀t+\frac{at²}{2}$, а закон движения — $x=x₀+v₀t+\frac{at²}{2}$

Пример. Автомобиль трогается с места (v₀=0) с ускорением a=2 м/с². Путь за первые 5 с: $s=0·5+\frac{2·5²}{2}=25$ м. Обратите внимание: за первую секунду он проедет всего 1 м ($s=\frac{2·1²}{2}=1$ м), а за пятую секунду (с 4-й по 5-ю) — уже 9 м (25−16=9 м, где 16 м — путь за первые 4 с). Путь при разгоне растёт не пропорционально времени, а пропорционально его квадрату — отсюда и характерная растущая «крутизна» на графике x(t).

4. Три графика одного движения

Три главные характеристики равноускоренного движения — ускорение, скорость и координата — связаны друг с другом так же, как этажи одного дома: каждая следующая получается из предыдущей накоплением площади под графиком.

График a(t) — горизонтальная прямая (ускорение постоянно). Площадь под ней за время t равна изменению скорости at — отсюда и получается v(t)=v₀+at, прямая с наклоном a. Площадь под графиком v(t), в свою очередь, равна пройденному пути — отсюда $x\left(t\right)=x₀+v₀t+\frac{at²}{2}$, парабола. Заметьте закономерность: график следующей величины получается из площади под графиком предыдущей, а его крутизна (наклон) в каждой точке равна значению предыдущей величины в этой же точке. Это не совпадение, а общий принцип, с которым мы ещё не раз встретимся в курсе.

Заметьте. Равномерное движение — не отдельный, а частный случай равноускоренного, при a=0: тогда $v=v₀+0·t=v₀=const$, а $s=v₀t+0=v₀t$ — в точности формулы первого раздела. Полезно держать в голове именно так: равноускоренное движение общее, равномерное — его простейший вариант.

5. Скорость и путь без времени

Иногда время движения неизвестно или не нужно, а нужна связь между скоростью и пройденным путём напрямую. Такую формулу легко получить, выразив t из v=v₀+at и подставив в формулу пути (проверить самостоятельно — хорошее упражнение на алгебру):

$v²=v₀²+2as$

Эта формула особенно удобна в задачах о торможении и разгоне, где обычно как раз известны скорости и путь, а время — нет.

Пример. Автомобиль тормозит перед препятствием с ускорением a=−5 м/с² (знак минус — тело замедляется) и полностью останавливается (v=0), пройдя s=20 м. Начальная скорость: $0=v₀²+2·\left(-5\right)·20$, откуда $v₀²=200,v₀\approx 14,1м/с\approx 51$ км/ч. Так по одному тормозному пути восстанавливают скорость, с которой ехала машина, — это реальная задача, которую решает автотехническая экспертиза после ДТП.

6. Главный вывод

Соберём занятие в одну картину. Равномерное прямолинейное движение — движение с постоянной скоростью, $x=x₀+vt$. Равноускоренное прямолинейное движение — движение с постоянным ускорением, и оно задаётся тремя связанными формулами: $v=v₀+at$ (скорость), $x=x₀+v₀t+\frac{at²}{2}$ (координата), $v²=v₀²+2as$ (связь скорости и пути без времени). Равномерное движение — частный случай равноускоренного при a=0. Ключевая идея, объединяющая оба случая, — путь равен площади под графиком скорости; именно из неё формулы и получены, а не выучены отдельно. Эта же идея — «следующая величина есть площадь под графиком предыдущей» — будет работать и дальше, когда мы перейдём от прямой линии к более сложным траекториям.

Разбор задач на занятии

Задача 1. Велосипедист движется равномерно со скоростью 4 м/с. Найти путь, пройденный за 2 минуты, и время, за которое он проедет 600 м.

Решение. Переведём время в секунды: 2 мин = 120 с.

Путь: $s=vt=4·120=480$ м.

Время для 600 м: $t=\frac{s}{v}=\frac{600}{4}=150$ с = 2,5 мин.

Задача 2. Поезд разгоняется из состояния покоя с ускорением 0,4 м/с². Найти скорость поезда через 20 с и путь, пройденный за это время.

Решение.

Скорость: $v=v₀+at=0+0,4·20=8м/с$.

Путь: $s=v₀t+\frac{at²}{2}=0+\frac{0,4·20²}{2}=0,4·200=80$ м.

Задача 3. Мотоциклист, двигаясь со скоростью 10 м/с, начинает тормозить с ускорением 2 м/с² и останавливается. Найти время торможения и тормозной путь.

Решение. При остановке v=0: $0=v₀-at$ (ускорение направлено против скорости), $t=\frac{v₀}{a}=\frac{10}{2}=5$ с.

Путь: $s=v₀t-\frac{at²}{2}=10·5-\frac{2·5²}{2}=50-25=25м.$

Проверка через формулу без времени: $v²=v₀²-2as\to 0=100-2·2·s\to s=25$ м — совпадает.

Задача 4. По графику скорости известно: тело движется равноускоренно, за первые 4 с скорость выросла с 3 м/с до 11 м/с. Найти ускорение и путь, пройденный за эти 4 с.

Решение.

Ускорение: $a=\frac{v-v₀}{t}=\frac{11-3}{4}=2$м/с².

Путь: $s=v₀t+\frac{at²}{2}=3·4+\frac{2·4²}{2}=12+16=28$ м.

Можно проверить через площадь трапеции: $s=\frac{v₀+v}{2}·t=\frac{3+11}{2}·4=28$ м — то же самое, только другим способом (трапеция целиком, а не прямоугольник плюс треугольник).

Задача 5. Автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину — со скоростью 40 км/ч. Найти среднюю скорость на всём пути. Почему ответ не равен $\frac{60+40}{2}$?

Решение. Пусть весь путь 2s. Время на первую половину: $t₁=\frac{s}{60}$, на вторую: $t₂=\frac{s}{40}$.

Полное время: $t₁+t₂=\frac{s}{60}+\frac{s}{40}=\frac{s(2+3)}{120}=\frac{5s}{120}=\frac{s}{24}$.

Средняя скорость: $v_{ср}=\frac{2s}{\frac{s}{24}}=48$ км/ч. Ответ не равен среднему арифметическому 50 км/ч, потому что на медленном участке автомобиль провёл больше времени, чем на быстром (тот же путь при меньшей скорости требует больше времени) — а среднюю скорость надо усреднять по времени, а не по расстоянию.

Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание)

Ответы приведены в конце документа для самопроверки.

Задача 1. Пешеход идёт равномерно со скоростью 1,5 м/с. Сколько времени и какой путь он пройдёт за 10 минут?

Задача 2. Самолёт разгоняется по взлётной полосе из состояния покоя с ускорением 3 м/с² и взлетает, набрав скорость 90 м/с. Найти время разгона и длину пробега по полосе.

Задача 3. Автомобиль, двигавшийся со скоростью 72 км/ч, начал тормозить с ускорением 4 м/с². Найти его скорость через 3 с после начала торможения и путь, пройденный за эти 3 с.

Задача 4. Тело движется равноускоренно без начальной скорости. За пятую секунду движения (то есть с 4-й по 5-ю секунду) оно прошло 9 м. Найти ускорение тела. (Подсказка: путь за пятую секунду — это разность путей за 5 с и за 4 с.)

Задача 5. Велосипедист первую треть времени в пути ехал со скоростью 20 км/ч, а оставшиеся две трети времени — со скоростью 8 км/ч. Найти его среднюю скорость на всём пути.

Основные выводы

• Равномерное прямолинейное движение — движение с постоянной скоростью: $v=\frac{s}{t}$, закон движения $x=x₀+vt$. Путь всегда неотрицателен, а координата и скорость как проекции на ось могут быть и отрицательными.
• Ускорение $a=\frac{v-v₀}{t}$ показывает, как быстро меняется скорость; единица — м/с². Равноускоренное движение — движение с постоянным ускорением; равномерное — его частный случай при a=0.
• Путь всегда равен площади под графиком скорости. Для равноускоренного движения эта площадь — трапеция, откуда $s=v₀t+\frac{at²}{2}$ и закон движения $x=x₀+v₀t+\frac{at²}{2}$.
• Три формулы равноускоренного движения связаны друг с другом как площади под графиками: v=v₀+at (наклон графика v(t) равен a), $x=x₀+v₀t+\frac{at²}{2}$ (площадь под графиком v(t)). Формула без времени: $v²=v₀²+2as$ — удобна, когда время неизвестно.
• Знаки v₀ и a показывают направление: одинаковые знаки — тело разгоняется, противоположные — тормозит.
• Средняя скорость при движении с разными скоростями на разных участках усредняется по времени, а не по расстоянию — среднее арифметическое скоростей даёт правильный ответ только тогда, когда на каждом участке потрачено поровну времени.

Ответы для самопроверки (домашнее задание)

1. 10 мин = 600 с. Путь: s=vt=1,5·600=900 м.
2. Время разгона: t=v/a=90/3=30 с. Длина пробега: s=at²/2=3·30²/2=1350 м.
3. 72 км/ч=20 м/с. Скорость через 3 с: v=v₀−at=20−4·3=8 м/с. Путь: s=v₀t−at²/2=20·3−4·9/2=60−18=42 м.
4. Путь за 5 с: s₅=a·5²/2=12,5a. Путь за 4 с: s₄=a·4²/2=8a. Путь за пятую секунду: s₅−s₄=12,5a−8a=4,5a=9 м, откуда a=2 м/с².
5. Пусть всё время в пути t. Первая треть (t/3) пройдена со скоростью 20 км/ч: путь s₁=20·t/3. Оставшиеся 2t/3 — со скоростью 8 км/ч: s₂=8·2t/3=16t/3. Весь путь: s=s₁+s₂=20t/3+16t/3=36t/3=12t. Средняя скорость: v_ср=s/t=12 км/ч.