Урок 5. Свободное падение. Движение по окружности

На третьем занятии мы разобрали два общих типа прямолинейного движения — равномерное и равноускоренное — и вывели для них универсальные формулы. Сегодня разберём два важных частных случая этих же движений, с которыми физика и повседневная жизнь сталкиваются на каждом шагу: падение тел под действием силы тяжести и равномерное движение по окружности. На первый взгляд они совсем не похожи друг на друга, но у них найдётся неожиданно много общего — в обоих случаях на тело действует ускорение, направленное не вдоль скорости, а особым образом с ней связанное.

1. Свободное падение — частный случай равноускоренного движения

Свободное падение — движение тела под действием одной только силы тяжести, без учёта сопротивления воздуха.

Опыты (в том числе знаменитый мысленный эксперимент Галилея, а на практике — падение тел в трубке, из которой откачан воздух) показывают удивительный факт: в отсутствие сопротивления воздуха все тела, независимо от массы и формы, падают с одинаковым ускорением. Это ускорение называют ускорением свободного падения:

Ускорение свободного падения g — ускорение, с которым движутся все тела при свободном падении вблизи поверхности Земли, направленное вертикально вниз. Его значение принято считать примерно постоянным: g ≈ 9,8 м/с² (в расчётах часто округляют до 10 м/с²).

Поскольку свободное падение — это просто равноускоренное прямолинейное движение с конкретным, известным заранее ускорением a=g, все формулы третьего занятия применимы без изменений — нужно только выбрать направление оси и подставить нужный знак.

Заметьте. «Одинаковое ускорение для всех тел» — вывод не такой очевидный, как кажется: перо и молоток на Земле явно падают по-разному, но виновато в этом сопротивление воздуха, а не сама сила тяжести. Астронавт Дэвид Скотт на Луне (где воздуха нет) уронил одновременно молоток и перо — и они действительно достигли поверхности одновременно, подтвердив идею Галилея прямым экспериментом за пределами атмосферы.

2. Падение без начальной скорости

Возьмём ось Ox, направленную вниз, с началом в точке, откуда тело начинает падать без начальной скорости (v₀=0). Тогда формулы равноускоренного движения ($v=v₀+at,x=x₀+v₀t+\frac{at²}{2}$) принимают вид:

$v=gt$ — скорость свободно падающего тела.

$h=\frac{gt²}{2}$ — путь, пройденный при свободном падении за время t.

Отсюда легко получить и связь скорости с пройденным путём без времени ($v²=v₀²+2as$ из третьего занятия при $v₀=0,a=g,s=h$):

$v²=2gh$, откуда $v=\surd \left(2gh\right)$.

На рисунке ниже — графики для обоих случаев сразу: слева свободное падение без начальной скорости, справа — бросок вертикально вверх, который разберём в следующем разделе.

Пример. Тело падает без начальной скорости с высоты 20 м. Время падения: из $h=\frac{gt²}{2}$ получаем $t=\surd \left(\frac{2h}{g}\right)=\surd \left(\frac{2·20}{9,8}\right)\approx 2,02$ с. Скорость у земли: $v=gt\approx 9,8·2,02\approx 19,8$ м/с, что совпадает с расчётом по $v=\surd \left(2gh\right)=\surd (2·9,8·20)\approx 19,8$ м/с.

3. Тело, брошенное вертикально вверх

Если телу сообщить начальную скорость v₀, направленную вверх, а ускорение свободного падения по-прежнему направлено вниз, удобно взять ось Oy, направленную вверх, — тогда ускорение войдёт в формулы со знаком «минус» (см. правую пару графиков на рисунке выше):

$v=v₀-gt$ (скорость уменьшается по мере подъёма, обращается в нуль в верхней точке, затем становится отрицательной — тело падает обратно)

$h=v₀t-\frac{gt²}{2}$ (высота над точкой броска)

В верхней точке траектории скорость на мгновение равна нулю (v=0), а высота максимальна. Отсюда находят время подъёма и максимальную высоту:

Время подъёма: $t_{в}=\frac{v₀}{g}$ (получено из условия $v=0$ в формуле $v=v₀-gt$)

Максимальная высота: $h_{max}=\frac{v₀²}{2g}$ (получено подстановкой $t_{в}$ в формулу $h$, либо из $v²=v₀²-2gh$ при $v=0$)

Заметьте. Время подъёма всегда равно времени последующего падения с той же высоты обратно в точку броска, а скорость в момент возвращения по модулю равна начальной скорости броска v₀ (но направлена уже вниз). Это прямое следствие обратимости равноускоренного движения: подъём и спуск — зеркально симметричные по времени процессы. Полное время полёта тела, брошенного вверх и вернувшегося в исходную точку, равно $\frac{2v₀}{g}$.

Пример. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Время подъёма: $t_{в}=\frac{20}{9,8}\approx 2,04$ с.

Максимальная высота: $h_{max}=\frac{20²}{2·9,8}=\frac{400}{19,6}\approx 20,4$ м. Полное время полёта до возвращения в руки бросавшего: 2·2,04≈4,08 с.

4. Равномерное движение по окружности: период, частота, скорость

Второй частный случай движения — не прямолинейный, а по замкнутой траектории:

Равномерное движение по окружности — движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковые по длине дуги окружности, то есть модуль скорости остаётся постоянным.

Обратите внимание на формулировку: постоянен только модуль скорости, но не её направление — скорость всё время направлена по касательной к окружности, то есть непрерывно поворачивается:

Движение по окружности удобно характеризовать несколькими родственными величинами:

Период обращения T — время одного полного оборота по окружности. Измеряется в секундах.

Частота обращения $\nu =\frac{1}{T}$ — число полных оборотов за единицу времени. Измеряется в герцах (1 Гц = 1 оборот в секунду).

Линейная скорость $v=\frac{2\pi R}{T}=2\pi R\nu$, где R — радиус окружности (длина окружности 2πR, пройденная за время T).

Угловая скорость $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu$ — угол поворота радиуса за единицу времени, измеряется в рад/с. Связь с линейной скоростью: $v=\omega R$.

Пример. Точка на ободе колеса радиусом 0,3 м делает 5 оборотов в секунду ($\nu =5Гц$). Период $T=\frac{1}{\nu }=0,2$ с. Угловая скорость ω=2πν=2π·5≈31,4 рад/с. Линейная скорость $v=\omega R=31,4·0,3\approx 9,4$ м/с — с такой скоростью на самом деле движется точка на ободе, хотя само колесо «стоит на месте» относительно дороги (катится).

5. Центростремительное ускорение

Раз скорость при движении по окружности меняется (пусть и только по направлению, а не по модулю), это движение — ускоренное, и у него обязательно есть ускорение. Разберёмся, куда оно направлено:

Возьмём две очень близкие точки A и B на окружности, между которыми тело движется малое время Δt. Векторы скорости в этих точках, $v_A$ и $v_B$, равны по модулю (движение равномерное), но чуть-чуть различаются по направлению — на тот же малый угол, на который повернулся радиус. Построим вектор разности $\Delta v=v_B-v_A$: при очень малом угле поворота этот вектор оказывается направлен практически перпендикулярно самим векторам скорости — то есть вдоль радиуса, к центру окружности. Отсюда:

Центростремительное ускорение — ускорение тела при равномерном движении по окружности, направленное от тела к центру окружности (поэтому его часто обозначают $a_{ц}$ или aₙ — «нормальное», перпендикулярное скорости).

$a_{ц}=\frac{v²}{R}=\omega ²R$, где v — линейная скорость, ω — угловая скорость, R — радиус окружности.

Заметьте. Направление «к центру» может показаться странным: ведь тело не приближается к центру, а движется по окружности на неизменном расстоянии от него. Но вспомните определение ускорения — это характеристика изменения скорости, а не положения. Скорость, оставаясь по модулю одной и той же, непрерывно поворачивается — а для того, чтобы вектор поворачивался, не меняя длины, добавка к нему (то есть Δv, а значит и ускорение) должна быть направлена перпендикулярно самому вектору, что для окружности означает — точно к центру.

Пример. Автомобиль проезжает закругление дороги радиусом 50 м со скоростью 72 км/ч=20 м/с. Центростремительное ускорение: $a_{ц}=\frac{v²}{R}=\frac{20²}{50}=\frac{400}{50}=8$ м/с² — это почти вся сила трения шин об асфальт, доступная для того, чтобы удержать машину на повороте; неудивительно, что на скользкой дороге в такой поворот на этой скорости вписаться не получится.

6. Главный вывод

Соберём занятие в одну картину. Свободное падение — частный случай равноускоренного прямолинейного движения с ускорением g≈9,8 м/с², направленным вниз: все формулы третьего занятия работают без изменений, важно лишь аккуратно выбрать знаки в зависимости от направления оси и начальной скорости. При падении без начальной скорости $v=gt$, $h=\frac{gt²}{2}$; при броске вверх скорость и высота вычисляются с учётом знака «минус» у ускорения, а время подъёма и максимальная высота находятся из условия v=0 в верхней точке. Равномерное движение по окружности — движение с постоянным по модулю, но непрерывно поворачивающимся направлением скорости; оно описывается периодом T, частотой ν, угловой скоростью ω=2πν и линейной скоростью v=ωR. Смена направления скорости означает, что движение ускоренное, а само это ускорение — центростремительное, $a_{ц}=\frac{v²}{R}$, всегда направленное к центру окружности. Оба этих частных случая понадобятся уже на следующих занятиях, когда мы перейдём от кинематики (описания движения) к динамике — выяснению того, какие силы вызывают то или иное ускорение.

Разбор задач на занятии

Задача 1. Камень падает без начальной скорости в шахту колодца и достигает воды через 2,5 с. Найти глубину колодца и скорость камня в момент удара о воду.

Решение.

Глубина: $h=\frac{gt²}{2}=\frac{9,8·2,5²}{2}=\frac{9,8·6,25}{2}\approx 30,6$ м.

Скорость: $v=gt=9,8·2,5=24,5$ м/с.

Задача 2. С какой начальной скоростью нужно бросить мяч вертикально вверх, чтобы он поднялся на высоту 5 м?

Решение. Из $h_{max}=\frac{v₀²}{2g}$ выразим $v₀=\surd \left(2g·h_{max}\right)=\surd (2·9,8·5)=\surd 98\approx 9,9$ м/с.

Задача 3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 м/с. Найти его скорость и высоту через 2 с после броска, ещё до достижения верхней точки.

Решение.

Скорость: $v=v₀-gt=30-9,8·2=30-19,6=10,4$ м/с (положительна — тело всё ещё поднимается).

Высота: $h=v₀t-\frac{gt²}{2}=30·2-\frac{9,8·4}{2}=60-19,6=40,4$м.

Задача 4. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите радиусом 7000 км с периодом 96 минут. Найти линейную скорость спутника и его центростремительное ускорение.

Решение. Переведём в СИ: R=7·10⁶ м, $T=96·60=5760$ с.

Линейная скорость: $v=\frac{2\pi R}{T}=\frac{2\pi ·7·10⁶}{5760}\approx \frac{43,98·10⁶}{5760}\approx 7635м/с\approx 7,6$ км/с.

Центростремительное ускорение: $a_{ц}=\frac{v²}{R}\approx \frac{7635²}{7·10⁶}\approx \frac{58,3·10⁶}{7·10⁶}\approx 8,3$ м/с² — это примерно то самое ускорение свободного падения на высоте орбиты спутника, только меньше земного (9,8 м/с²) из-за большего расстояния до центра Земли.

Задача 5. Точка на ободе велосипедного колеса радиусом 0,35 м движется с центростремительным ускорением 40 м/с². Найти линейную скорость точки, угловую скорость колеса и число оборотов колеса в секунду.

Решение. Из $a_{ц}=\frac{v²}{R}$ выразим $v=\surd \left(a_{ц}·R\right)=\surd (40·0,35)=\surd 14\approx 3,74$ м/с.

Угловая скорость: $\omega =\frac{v}{R}=\frac{3,74}{0,35}\approx 10,7$ рад/с.

Частота: $\nu =\frac{\omega }{2\pi }=\frac{10,7}{6,28}\approx 1,7$ об/с.

Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание)

Ответы приведены в конце документа для самопроверки.

Задача 1. Тело падает без начальной скорости с высоты 45 м. Найти время падения и скорость у поверхности земли (g=9,8 м/с²).

Задача 2. Мяч брошен вертикально вверх и вернулся в руки бросавшего через 3 с. Найти начальную скорость броска и максимальную высоту подъёма.

Задача 3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/с. Через какое время оно окажется на высоте 20 м (рассмотреть оба возможных момента — на подъёме и на спуске)?

Задача 4. Луна обращается вокруг Земли по орбите радиусом примерно 384 000 км с периодом около 27,3 суток. Найти линейную скорость Луны на орбите.

Задача 5. Центрифуга вращается с частотой 20 об/с. Радиус вращения образца — 0,15 м. Найти линейную скорость образца и центростремительное ускорение, во сколько раз оно превышает g=9,8 м/с².

Основные выводы

• Свободное падение — равноускоренное движение с ускорением g≈9,8 м/с², одинаковым для всех тел (без учёта сопротивления воздуха), направленным вертикально вниз.
• При падении без начальной скорости: $v=gt,h=\frac{gt²}{2},v²=2gh$. При броске вертикально вверх: $v=v₀-gt,h=v₀t-\frac{gt²}{2}$; время подъёма t${}_{в}=\frac{v₀}{g}$, максимальная высота $h_{max}=\frac{v₀²}{2g}$.
• Равномерное движение по окружности — движение с постоянным по модулю, но непрерывно меняющимся по направлению вектором скорости, всегда направленным по касательной к траектории.
• Период T, частота $\nu =\frac{1}{T}$, угловая скорость $\omega =2\pi \nu =\frac{2\pi }{T}$ и линейная скорость $v=\omega R=\frac{2\pi R}{T}$ — основные величины, описывающие движение по окружности.
• Изменение направления скорости означает наличие ускорения даже при постоянном модуле скорости — это центростремительное ускорение $a_{ц}=\frac{v²}{R}=\omega ²R$, всегда направленное к центру окружности.

Ответы для самопроверки (домашнее задание)

1. t=√(2h/g)=√(2·45/9,8)≈3,03 с. v=gt≈9,8·3,03≈29,7 м/с (либо сразу v=√(2gh)=√(2·9,8·45)≈29,7 м/с).
2. Время подъёма — половина полного времени полёта: t_в=1,5 с. v₀=g·t_в=9,8·1,5=14,7 м/с. h_max=v₀²/(2g)=14,7²/(19,6)≈11,0 м.
3. Из h=v₀t−gt²/2: 20=25t−4,9t². 4,9t²−25t+20=0. Дискриминант D=625−4·4,9·20=625−392=233, √D≈15,26. t=(25±15,26)/9,8. Первый корень (подъём): t₁≈(25−15,26)/9,8≈0,99 с. Второй корень (спуск): t₂≈(25+15,26)/9,8≈4,11 с.
4. v=2πR/T. Переведём период в секунды: T=27,3·24·3600≈2,359·10⁶ с. v=2π·3,84·10⁸/2,359·10⁶≈2,413·10⁹/2,359·10⁶≈1023 м/с≈1,02 км/с.
5. ω=2πν=2π·20≈125,7 рад/с. v=ωR=125,7·0,15≈18,85 м/с. a_ц=ω²R=125,7²·0,15≈1580 м/с² (либо a_ц=v²/R=18,85²/0,15≈1580 м/с²). Отношение к g: 1580/9,8≈161 — центрифуга создаёт перегрузку примерно в 161g.