За последние занятия мы собрали полный набор кинематических формул: на четвёртом уроке — для равномерного и равноускоренного движения, на пятом — для свободного падения и движения по окружности. Но формулы остаются формулами, пока их не проверили на опыте. Сегодня — практическая работа: мы измерим то, о чём до сих пор только рассуждали. Во-первых, выясним, что на самом деле означает «скорость в данный момент времени» и как её можно измерить прибором, который умеет определять только средние величины. Во-вторых, получим ускорение шарика из реальных (или виртуально смоделированных) измерений времени и расстояния. В-третьих, проверим, что тело, брошенное горизонтально, летит ровно по тем законам, которые мы вывели. Заодно потренируем то, чему научились на втором уроке: записывать результат измерения честно, вместе с его погрешностью.

Цель работы

1. Убедиться, что средняя скорость на всё более коротком промежутке времени стремится к мгновенной, и научиться оценивать мгновенную скорость по результатам измерений.
2. Определить ускорение шарика, скатывающегося по наклонному жёлобу, двумя независимыми способами и сравнить результаты.
3. Проверить формулы t=√(2h/g) и L=v₀t для тела, брошенного горизонтально.

Оборудование

Реальная установка: наклонный жёлоб с шариком; секундомер или электронные ворота (датчики) с таймером; измерительная лента или линейка; штатив; лист бумаги с копиркой; отвес.

Виртуальный вариант: все три части можно выполнить в виртуальной лаборатории — она моделирует и жёлоб с воротами, и горизонтальный бросок, а данные записываются в тех же таблицах, что и ниже.

Теоретическая часть

1. Мгновенная скорость. Скорость, которую показывает спидометр, — это скорость в данный момент времени, а не за какой-то промежуток. Измерить напрямую «в момент» невозможно: любой прибор измеряет перемещение Δx за некоторое, пусть очень маленькое, время Δt. Поэтому на практике поступают так: вычисляют среднюю скорость $v_{ср}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ на промежутке, начинающемся в нужный момент t₀, и уменьшают Δt. Если движение достаточно «гладкое», средняя скорость при этом стремится к определённому числу — оно и называется мгновенной скоростью в момент t₀. Для равноускоренного движения связь точная:

$v_{ср}=v\left(t₀\right)+\frac{a\Delta t}{2}$ — на промежутке $[t₀;t₀+\Delta t]$ средняя скорость больше мгновенной скорости в начале промежутка на $\frac{a\Delta t}{2}$. Чем меньше Δt, тем меньше эта разница.

На графике x(t) средняя скорость — это наклон секущей, а мгновенная — наклон касательной. Уменьшая Δt, мы «поворачиваем» секущую вокруг точки t₀ до совпадения с касательной:

2. Равноускоренное движение из состояния покоя. При v₀=0 путь и скорость связаны с временем формулами $s=\frac{at²}{2}$ и $v=at$. Отсюда два независимых способа найти ускорение:

Способ А: $a=\frac{2s}{t²}$ — по пути s и времени t от старта.

Способ Б: по графику (или таблице) скорости: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ — отношение изменения скорости к промежутку времени. Скорость в какой-то момент при этом находят как среднюю на небольшом участке: для равноускоренного движения средняя скорость на промежутке равна мгновенной скорости в его середине по времени.

Заметьте. Последнее утверждение — не приближение, а точный факт для равноускоренного движения: график v(t) прямой, и среднее значение линейной функции на отрезке равно её значению в середине отрезка. Именно поэтому в части 2 скорость, найденная на участке между двумя соседними воротами, нужно «привязывать» к середине временного промежутка между ними.

3. Горизонтальный бросок. Тело, брошенное горизонтально со скоростью v₀ с высоты h, участвует в двух независимых движениях: по горизонтали — равномерном ($x=v₀t$), по вертикали — свободном падении без начальной скорости ($y=h-\frac{gt²}{2}$):

Время полёта: $t=\surd \left(\frac{2h}{g}\right)$ — зависит только от высоты, но не от v₀.

Дальность полёта: $L=v₀·t=v₀·\surd \left(\frac{2h}{g}\right)$.

Скорость при падении: $v=\surd (v₀²+2gh)$.

Часть 1. Измерение мгновенной скорости

Идея опыта. Тело движется равноускоренно. Требуется найти его скорость в момент $t₀=2,0$ с. В виртуальной лаборатории движение задано законом $x\left(t\right)=t²$ (это a=2 м/с², v₀=0). На реальной установке то же делают, измеряя время прохождения шариком всё более коротких отрезков жёлоба, начинающихся в одной и той же точке.

Ход работы.

1. Установите $t₀=2,0$ с. Выберите самый большой промежуток $\Delta t=2$ с, считайте с прибора (или рассчитайте) перемещение $\Delta x=x(t₀+\Delta t)-x\left(t₀\right)$ и вычислите $v_{ср}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$.
2. Последовательно уменьшайте Δt: 1; 0,5; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02 с. Для каждого значения повторите вычисление.
3. Занесите результаты в таблицу. Обратите внимание, к какому числу приближаются значения $v_{ср}$.
4. Найдите мгновенную скорость по формуле v(t₀)=at₀ и сравните с самым последним значением $v_{ср}$.

Образец заполнения (для x=t²): 6,0; 5,0; 4,5; 4,2; 4,1; 4,05; 4,02. Значения стремятся к 4 м/с — это и есть $v\left(2с\right)=2·2=4$ м/с. Заметьте, что разность $v_{ср}-v$ ровно равна Δt, как и предсказывает формула $v_{ср}=v+\frac{a\Delta t}{2}$ при a=2.

Вывод по части 1 формулируется так: сколько нужно уменьшить Δt, чтобы $v_{ср}$ отличалась от мгновенной скорости менее чем на 1 %? (Для образца: 4 м/с·1 % = 0,04 м/с, значит $\Delta t\le 0,04$ с.)

Часть 2. Равноускоренное движение шарика на жёлобе

Идея опыта. Шарик скатывается без начальной скорости по наклонному жёлобу. На расстояниях s₁…s₅ от старта установлены ворота: каждый раз, когда шарик пересекает ворота, таймер фиксирует время $t_i$ от момента старта.

Ход работы.

1. Отпустите шарик без толчка и запишите время $t_i$ прохождения каждых ворот. Если у вас секундомер, а не датчики, повторите опыт 3–5 раз для каждого расстояния и возьмите среднее.
2. По формуле $v_i=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ вычислите среднюю скорость на каждом из четырёх участков между соседними воротами (Δs — расстояние между воротами, $\Delta t=t_{i+1}-t_i$). Отнесите эту скорость к моменту $t_{сер}=\frac{t_i+t_{i+1}}{2}$.
3. Способ Б. Найдите ускорение как отношение изменения скорости между первым и последним участками к промежутку времени между их серединами: $a_{Б}=\frac{v₄-v₁}{t_{сер4}-t_{сер1}}$.
4. Способ А. Найдите ускорение по последним воротам: $a_{А}=\frac{2s₅}{t₅²}$.
5. Сравните $a_{А}$ и $a_{Б}$. Если они совпали в пределах погрешности, измерения согласованы.

Образец заполнения (для a=0,8 м/с²). Времена: 0,791; 1,118; 1,369; 1,581; 1,768 с. Скорости на участках: 0,763; 0,995; 1,180; 1,340 м/с в моменты 0,954; 1,244; 1,475; 1,674 с. Способ Б: a=(1,340−0,763)/(1,674−0,954)≈0,80 м/с². Способ А: a=2·1,25/1,768²≈0,80 м/с². Значения совпали.

Дополнительная проверка. Если движение действительно равноускоренное из состояния покоя, то отношение s/t² должно быть одним и тем же для всех пяти ворот (оно равно a/2). Проверьте это по таблице: так вы убедитесь, что «закон квадратов» s∝t² выполняется, и увидите, насколько разбросаны ваши измерения.

Часть 3. Движение тела, брошенного горизонтально

Идея опыта. Шарик скатывается по жёлобу с горизонтальным концом и вылетает с некоторой скоростью v₀ с высоты h над столом (или полом). Нужно проверить, что дальность полёта L действительно равна $v₀\surd \left(\frac{2h}{g}\right)$. В виртуальной лаборатории v₀ и h задаются, а время полёта и дальность «измеряет» симулятор; на реальной установке v₀ неизвестна, и её находят из измеренной дальности.

Ход работы.

1. Измерьте высоту h от нижнего края конца жёлоба до поверхности, на которую падает шарик.
2. Положите на поверхность лист бумаги с копиркой и отпустите шарик из одной и той же точки жёлоба 3–5 раз. По отпечаткам определите среднюю дальность L от вертикали (отвеса), опущенной из конца жёлоба.
3. Рассчитайте время полёта $t=\surd \left(\frac{2h}{g}\right)$ (g=9,8 м/с²).
4. Реальная установка: найдите начальную скорость $v₀=\frac{L}{t}$. Виртуальная модель: по заданным v₀ и h рассчитайте $L=v₀t$ и сравните с дальностью, показанной симулятором.
5. Повторите опыт для другой высоты h. Убедитесь, что при неизменной v₀ время полёта зависит только от h.

Образец заполнения (виртуальная модель): (v₀=4 м/с, h=1,5 м) → t=0,553 с, L=2,21 м; (v₀=6 м/с, h=1,0 м) → t=0,452 с, L=2,71 м; (v₀=3 м/с, h=2,0 м) → t=0,639 с, L=1,92 м. Скорость при падении для этих опытов: 6,74; 7,46; 6,94 м/с.

Обработка результатов и оценка погрешности

Как и на втором уроке, результат измерения без оценки точности — только половина результата. Для каждой величины, найденной двумя способами или сравниваемой с расчётом, вычислите относительное отклонение:

$\epsilon =\frac{\left|A_{изм}-A_{расч}\right|}{A_{расч}}·100$

Если ε не превышает относительной погрешности измерений (для секундомера с точностью 0,1 с при времени 1,5 с это уже около 7 %), расхождение можно считать случайным, и формулы на опыте подтверждены. Если ε заметно больше, ищите систематическую ошибку: трение шарика о жёлоб, неточное определение момента старта, неодинаковая точка отпускания.

Заметьте. Главный источник погрешности в реальной установке — время. Хороший приём: увеличить измеряемое время (например, брать ворота подальше от старта), чтобы абсолютная погрешность секундомера составляла меньшую долю измеряемой величины.

Контрольные вопросы

1. Почему нельзя измерить мгновенную скорость «напрямую» и как это обходят на практике?
2. Что произойдёт со значением v_ср в части 1, если брать промежуток не вперёд от t₀, а симметрично вокруг t₀ (от $t₀-\frac{\Delta t}{2}$ до $t₀+\frac{\Delta t}{2}$)? Объясните результат для равноускоренного движения.
3. Почему в части 2 скорость на участке между воротами относят к середине временного промежутка, а не к его началу или концу?
4. Как по результатам части 2 убедиться, что движение шарика действительно равноускоренное, не вычисляя ускорения?
5. Почему время полёта в части 3 не изменится, если увеличить начальную скорость вдвое, а дальность — изменится?

Основные выводы

• Мгновенная скорость — это предел, к которому стремится средняя скорость при Δt→0; на опыте её оценивают, неограниченно уменьшая промежуток. Для равноускоренного движения $v_{ср}=v\left(t₀\right)+\frac{a\Delta t}{2}$.
• При равноускоренном движении средняя скорость на промежутке равна мгновенной скорости в его середине по времени, а отношение $\frac{s}{t²}$ (из состояния покоя) постоянно и равно $\frac{a}{2}$.
• Ускорение можно найти по путям и временам ($a=\frac{2s}{t²}$) и по изменению скорости ($a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$); совпадение двух способов — признак согласованных измерений.
• Для тела, брошенного горизонтально, движения по осям независимы: $t=\surd \left(\frac{2h}{g}\right)$ зависит только от высоты, $L=v₀\surd \left(\frac{2h}{g}\right)$, скорость падения $v=\surd (v₀²+2gh)$.
• Результат измерения нужно сопровождать оценкой отклонения от расчёта или другого способа: $\epsilon =\frac{\left|A_{изм}-A_{расч}\right|}{A_{расч}}·100$.

Ответы на контрольные вопросы

1. Любой прибор измеряет перемещение за конечное время Δt, поэтому напрямую получается только средняя скорость. Мгновенную скорость оценивают как предел средней при Δt→0: берут всё более короткие промежутки и смотрят, к какому числу приближается результат.
2. Для равноускоренного движения симметричный промежуток дал бы среднюю скорость, в точности равную мгновенной скорости в t₀ при любом Δt (для $x=t²$ получается ровно 2t₀). Это следствие того, что график v(t) — прямая: среднее на отрезке равно значению в его середине. Именно поэтому в «правильной» методике скорость относят к середине промежутка.
3. Скорость меняется линейно, и среднее значение линейной функции на отрезке равно её значению в середине отрезка. Для начала или конца промежутка равенства нет — там скорость была бы меньше или больше средней.
4. Достаточно проверить, что $\frac{s}{t²}$ одинаково (в пределах погрешности) для всех ворот, либо что скорости на соседних участках растут примерно на одну и ту же величину при одинаковых промежутках времени между серединами.
5. Вертикальное движение (свободное падение с высоты h без начальной вертикальной скорости) не зависит от горизонтального, поэтому $t=\surd \left(\frac{2h}{g}\right)$ определяется только высотой. А дальность $L=v₀t$ при вдвое большей v₀ и неизменном t вырастает вдвое.