Урок 86. Дифракция света. Поляризация света

На прошлом занятии интерференция впервые заставила нас признать, что лучевая модель света не полна: устойчивые полосы света и тени объяснимы только волновой природой. Сегодня разберём ещё два явления, которые довершают эту картину. Первое — дифракция — покажет, что свет умеет заходить туда, куда прямой луч попасть не может, то есть в область геометрической тени. Второе — поляризация — раскроет, что колебания в световой волне вообще имеют определённое направление в пространстве, а не только величину, — а значит, свет представляет собой поперечную волну.

1. Дифракция света и принцип Гюйгенса — Френеля

Дифракция света — отклонение света от прямолинейного распространения при прохождении вблизи препятствий (краёв щелей, отверстий, тонких нитей), не объяснимое отражением или преломлением.

Объяснить, почему так происходит, позволяет удобная мысленная конструкция:

Принцип Гюйгенса — Френеля: каждая точка волнового фронта, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн, а результирующая волна в любой последующей точке пространства — результат интерференции всех этих вторичных волн.

Если на пути плоской волны стоит широкое препятствие со щелью, вторичные волны от точек внутри щели расходятся во все стороны — в том числе и в область, которая по законам геометрической оптики должна была бы остаться в тени:

Заметьте. Дифракция — не какое-то особое, редкое свойство именно света: она присуща любым волнам (звуковым, водным, радиоволнам) и проявляется тем заметнее, чем ближе размер препятствия или отверстия к длине волны. Именно поэтому звук огибает углы домов и слышен из-за угла, а свет (с длиной волны порядка 0,5 мкм) даёт заметную дифракцию только на очень узких щелях или маленьких отверстиях — на предметах привычного нам размера дифракция есть всегда, но она слишком мала, чтобы её заметить, и поэтому в обычной жизни прекрасно работает приближение геометрической оптики.

2. Дифракция на одной щели

Рассмотрим щель шириной a, на которую падает плоская волна. По принципу Гюйгенса — Френеля каждая точка щели излучает вторичные волны, и в направлении под углом θ к первоначальному эти волны от разных точек щели проходят разные расстояния — между вторичными волнами от противоположных краёв щели возникает разность хода:

Условие минимума при дифракции на щели: a·sinθ = mλ (m = ±1, ±2, …) — вторичные волны от разных участков щели в этом направлении попарно гасят друг друга.

В направлении θ=0 (прямо по ходу волны) разности хода нет вовсе, все вторичные волны складываются в фазе — там всегда получается самый широкий и яркий центральный максимум. По обе стороны от него, там, где выполняется условие минимума, освещённость падает почти до нуля, а между соседними минимумами лежат гораздо более слабые боковые максимумы.

Заметьте. Чем уже щель (чем меньше a при неизменной λ), тем при меньшем угле θ выполняется условие первого минимума ($a·sin\theta =\lambda$, значит $sin\theta =\frac{\lambda }{a}$ растёт при уменьшении a) — а значит, тем шире расходится центральный максимум. Из очень узкой щели свет расходится почти во все стороны, будто щель сама стала точечным источником, — предельный случай дифракции.

3. Дифракционная решётка

Одну щель на практике почти не используют для точных измерений — вместо неё берут систему из множества параллельных щелей, расположенных на одинаковом малом расстоянии друг от друга:

Дифракционная решётка — оптический прибор, представляющий собой множество узких параллельных щелей, расположенных на равных расстояниях друг от друга.

Период решётки d — расстояние между серединами соседних щелей.

Волны от всех щелей когерентны (как и в опыте Юнга — они произошли от одного и того же падающего фронта) и интерферируют между собой. Главные максимумы получаются в тех направлениях, где выполняется знакомое условие:

Условие главных максимumов дифракционной решётки: d·sinθ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …), где m — порядок дифракционного максимума.

Заметьте. Чем больше щелей участвует в интерференции, тем ýже и ярче получаются главные максимумы решётки на фоне почти тёмного промежуточного пространства — в отличие от опыта Юнга с двумя щелями, где полосы получаются широкими и плавно переходящими друг в друга. Именно узость максимумов делает решётку удобным инструментом: измерив угол θ, под которым наблюдается максимум определённого порядка m, и зная период решётки d, можно точно вычислить длину волны $\lambda =\frac{d·sin\theta }{m}$ — так устроен спектральный анализ, разложение света на составляющие длины волн с высокой точностью (гораздо более высокой, чем даёт призма).

Пример. Дифракционная решётка с периодом d=2 мкм освещена светом с длиной волны 600 нм. Максимум первого порядка (m=1) наблюдается под углом $sin\theta =\frac{\lambda }{d}=\frac{600·10⁻⁹}{2·10⁻⁶}=0,3$, θ≈17,5°. Максимум второго порядка (m=2): $sin\theta =2·0,3=0,6,\theta \approx 36,9°$. Дальше — при m=3 — потребовалось бы $sin\theta =0,9$, что ещё возможно, а при $m=4sin\theta =1,2>1$ — такого угла не существует, значит для этой пары параметров максимум четвёртого порядка вообще не наблюдается: решётка «показывает» ограниченное число порядков.

4. Поляризация света

Дифракция и интерференция подтверждают, что свет — волна. Но какая именно: продольная (как звук, колебания вдоль направления распространения) или поперечная (как волна на верёвке, колебания перпендикулярно направлению распространения)? Ответ даёт ещё одно явление:

Поляризация света — явление, при котором колебания электрического поля световой волны происходят не по всем направлениям, перпендикулярным лучу, а преимущественно (или исключительно) в одной определённой плоскости.

Сам факт, что свет можно поляризовать, доказывает: световая волна — поперечная (у продольной волны, колеблющейся вдоль направления распространения, просто не было бы иных направлений колебаний, которые можно было бы отобрать). В обычном, естественном свете от большинства источников колебания электрического поля происходят сразу по всем направлениям, перпендикулярным лучу, беспорядочно и быстро сменяя друг друга — так свет, испущенный огромным множеством независимо излучающих атомов, выглядит неполяризованным:

Поляризатор — устройство (например, специальная плёнка или кристалл), пропускающее колебания электрического поля только одного определённого направления (вдоль своей оси) и полностью или почти полностью задерживающее колебания во всех остальных направлениях. Свет, прошедший через поляризатor, называют плоско поляризованным.

5. Закон Малюса

Что произойдёт, если на пути уже поляризованного света поставить второй поляризатор (в этой роли его называют анализатором), ось которого повёрнута на угол φ относительно оси первого? Через анализатор пройдёт только составляющая колебаний вдоль его собственной оси — то есть проекция амплитуды на эту ось, равная A·cosφ. А так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, получаем:

Закон Малюса: $I=I₀·cos²\phi$, где I₀ — интенсивность света после первого поляризатора (перед анализатором), φ — угол между осями поляризатора и анализатора, I — интенсивность света, прошедшего через анализатор.

Пример. При φ=0 (оси совпадают) cos²0=1, весь свет проходит без потерь: I=I₀. При φ=90° (оси перпендикулярны, «скрещенные поляризаторы») cos²90°=0 — свет полностью гасится, за анализатором темно, хотя оба поляризатора по отдельности прозрачны. При φ=45°: $cos²45°=\left(\surd \frac{2}{2}\right)²=0,5$ — проходит ровно половина интенсивности. Именно эксперимент с двумя поляризаторами, один из которых постепенно поворачивают, наблюдая плавное угасание света вплоть до полной темноты при 90°, — самый наглядный и убедительный способ продемонстрировать поляризацию на уроке.

Заметьте. Естественный (неполяризованный) свет можно представить как беспорядочную смесь всех направлений колебаний сразу; пропуская его через один поляризатор, мы «отрезаем» все направления, кроме одного, и теряем в среднем половину исходной интенсивности ($I₀=\frac{I_{natural}}{2}$), независимо от ориентации самого поляризатора — а вот дальше, при добавлении второго поляризатора, в игру вступает уже конкретный угол φ и закон Малюса.

6. Применения поляризации

Поляризационные солнцезащитные очки. Свет, отражённый от горизонтальных поверхностей (воды, мокрого асфальта, капота машины), оказывается частично поляризованным преимущественно в горизontальной плоскости. Стёкла таких очков — это поляризаторы с вертикальной осью пропускания, поэтому они эффективно гасят именно этот отражённый блик, но не ослабляют обычный, неполяризованный свет от предметов так же сильно.

Жидкокристаллические экраны. Работа ЖК-дисплеев (в телефонах, мониторах, калькуляторах) прямо основана на управляемом повороте плоскости поляризации света жидкими кристаллами между двумя скрещенными поляризаторами — подавая напряжение на отдельный пиксель, меняют, пройдёт через него свет или нет.

Проверка механических напряжений. Многие прозрачные материалы (пластик, стекло) под механической нагрузкой становятся способны менять поляризацию проходящего света в местах наибольшего напряжения; рассматривая нагруженную деталь между скрещенными поляризаторами, инженеры видят цветные полосы именно там, где материал испытывает наибольшую нагрузку, — и заранее находят слабые места конструкции.

7. Главный вывод

Соберём занятие в одну картину. Дифракция — отклонение света от прямолинейного пути при прохождении препятствий, объясняемое принципом Гюйгенса — Френеля (каждая точка фронта — источник вторичных волн). На щели шириной a минимумы возникают при $a·sin\theta =m\lambda$; дифракционная решётка с периодом d даёт узкие и яркие главные максимумы при $d·sin\theta =m\lambda$, что позволяет точно измерять длину волны света. Поляризация показывает, что свет — поперечная волна: естественный свет содержит колебания по всем направлениям сразу, поляризатор оставляет только одно направление, а закон Малюса $I=I₀cos²\phi$ описывает, сколько света пройдёт через второй поляризатор (анализатор), повёрнутый на угол φ относительно первого. Вместе дифракция, интерференция и поляризация составляют убедительный набор доказательств волновой (и, как выяснится позже, поперечной электромагнитной) природы света — три явления, которые геометрическая оптика в принципе не способна объяснить.

Разбор задач на занятии

Задача 1. На щель шириной 0,02 мм падает свет с длиной волны 500 нм. Под каким углом наблюдается первый дифракционный минимум?

Решение. Из $a·sin\theta =m\lambda$ при m=1: $sin\theta =\frac{\lambda }{a}=\frac{500·10⁻⁹}{0,02·10⁻³}=\frac{500·10⁻⁹}{2·10⁻⁵}=0,025$. $\theta =arcsin(0,025)\approx 1,43°$.

Задача 2. Дифракционная решётка имеет период 5 мкм. Свет с длиной волны 600 нм даёт максимум под углом 20°. Найти порядок этого максимума.

Решение. Из $d·sin\theta =m\lambda$:

$m=\frac{d·sin\theta }{\lambda }=\frac{5·10⁻⁶·sin20°}{600·10⁻⁹}=\frac{5·10⁻⁶·0,342}{6·10⁻⁷}\approx 2,85$. Порядок максимума должен быть целым числом, значит ближайший реально наблюдаемый максимум — второй (m=2); неточное совпадение говорит о том, что угол в условии округлён.

Задача 3. Найти максимальный порядок дифракционного максимума, который может дать решётка с периодом 3 мкм для света с длиной волны 500 нм.

Решение. Максимальный порядок ограничен условием $sin\theta \le 1:m_{max}=d/\lambda =\frac{3·10⁻⁶}{500·10⁻⁹}=6$. Поскольку $sin\theta =1$ соответствует $\theta =90°$ (максимум «вдоль» решётки, физически недостижимый на практике), реально наблюдаемым будет порядок m=5.

Задача 4. Естественный свет интенсивностью I₀ проходит через два поляризатора, оси которых образуют угол 30°. Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения обоих поляризаторов по сравнению с исходной?

Решение. После первого поляризатора интенсивность естественного света уменьшается вдвое: $I₁=\frac{I₀}{2}$. После второго — по закону Малюса: $I₂=I₁·cos²30°=I₁·\left(\surd \frac{3}{2}\right)²=I₁·0,75=0,375·I₀$. Итоговая интенсивность составляет 0,375 от исходной, то есть уменьшилась примерно в 2,67 раза.

Задача 5. При каком угле между поляризатором и анализатором интенсивность прошедшего света составит ровно четверть от интенсивности света, падающего на анализатор?

Решение. Из $I=I₀cos²\phi$ при $\frac{I}{I₀}=\frac{1}{4}$: $cos²\phi =\frac{1}{4},cos\phi =\frac{1}{2}$ (берём положительное значение), φ=60°.

Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание)

Ответы приведены в конце документа для самопроверки.

Задача 1. На щель шириной 0,015 мм падает свет с длиной волны 450 нм. Найти угол, под которым наблюдается первый дифракционный минимум.

Задача 2. Дифракционная решётка с периодом 4 мкм освещена светом с длиной волны 550 нм. Найти угол, под которым наблюдается максимум второго порядка.

Задача 3. Найти максимальный порядок дифракционного максимума для решётки с периодом 2,5 мкм и света с длиной волны 625 нм.

Задача 4. Свет, прошедший через один поляризатор, проходит затем через анализатор, повёрнутый на 45° относительно первого. Какая доля интенсивности пройдёт через анализатор?

Задача 5. Два поляризатора расположены так, что интенсивность прошедшего через оба света равна нулю (свет полностью гасится). На какой угол нужно повернуть один из них, чтобы интенсивность прошедшего света составила половину от максимально возможной?

Основные выводы

• Дифракция — отклонение света от прямолинейного распространения на препятствиях, объясняемое принципом Гюйгенса — Френеля: каждая точка волнового фронта — источник вторичных волн.
• На щели шириной a дифракционные минимумы наблюдаются при $a·sin\theta =m\lambda$; центральный максимум — самый широкий и яркий, тем шире, чем уже щель.
• Дифракционная решётка с периодом d даёт узкие, яркие главные максимумы при $d·sin\theta =m\lambda$ и используется для точного измерения длины волны света (спектральный анализ).
• Поляризация света — упорядочение направления колебаний электрического поля волны; доказывает, что свет — поперечная волна. Естественный свет неполяризован (колебания по всем направлениям), поляризатор пропускает только одно направление.
• Закон Малюса $I=I₀cos²\phi$ описывает интенсивность света после анализатора, повёрнутого на угол φ относительно поляризатора: полное прохождение при φ=0, полное гашение при φ=90°.
• Поляризация применяется в солнцезащитных очках, ЖК-дисплеях и для контроля механических напряжений в прозрачных материалах.

Ответы для самопроверки (домашнее задание)

1. sinθ=λ/a=450·10⁻⁹/1,5·10⁻⁵=0,03. θ=arcsin(0,03)≈1,72°.
2. sinθ=mλ/d=2·550·10⁻⁹/4·10⁻⁶=0,275. θ=arcsin(0,275)≈16,0°.
3. m_max=d/λ=2,5·10⁻⁶/625·10⁻⁹=4. Поскольку m=4 требует sinθ=1 (θ=90°, физически предельный случай), практически наблюдаемый максимальный порядок — m=3.
4. I=I₀cos²45°=I₀·0,5 — пройдёт половина интенсивности (если речь о свете, уже поляризованном первым поляризатором; если учитывать и потерю на первом поляризаторе от естественного света, итоговая доля от исходного естественного света составит 0,25).
5. Полное гашение соответствует φ=90°. Половина максимальной интенсивности достигается при cos²φ=0,5, то есть φ=45°. Значит, один из поляризаторов нужно повернуть на 45° (уменьшив угол между осями с 90° до 45°).