Как выражать величины из формул

Почти в каждой задаче по физике нужная величина не стоит в формуле «в чистом виде», а спрятана среди других величин. Например, формула v = v₀ + at даёт скорость, но если в условии задачи нужно найти время t, формулу приходится сначала преобразовать. Ошибка на этом шаге — не ошибка в физике, а чисто алгебраическая, но именно она чаще всего портит решение правильно понятой задачи. Поэтому этот навык стоит довести до автоматизма отдельно от физического содержания — и потренировать его на равных по духу заданиях из ОГЭ по математике, а не только по физике.

1. Общий принцип

Формула — это уравнение. Чтобы выразить из него нужную переменную, действуем так же, как при решении обычного уравнения: любое действие, выполненное над одной частью равенства, обязательно выполняется и над другой частью. Это единственное правило, которое нельзя нарушать никогда.

Практическое затруднение обычно не в этом правиле, а в том, в каком порядке отменять действия.

Аналогия. Нужная переменная — это подарок, завёрнутый в несколько слоёв упаковки: сначала её умножили на что-то, потом к результату что-то прибавили. Чтобы «распаковать» переменную, слои снимаются в обратном порядке: сначала убирается то, что было добавлено последним.

Если в уравнении есть скобки, первым делом их нужно раскрыть и привести подобные слагаемые — только после этого становится видно, какие «слои» на самом деле окружают искомую переменную.

2. Четыре базовых приёма для однократного вхождения переменной

Приём 1 — перенос слагаемого. Слагаемое, которое мешает, переносится в другую часть равенства с противоположным знаком. Из a = b + c следует b = a − c.

Приём 2 — деление на множитель. Если переменная умножена на число или другую величину, обе части делятся на этот множитель. Из a = b·c следует b = a/c.

Приём 3 — умножение на знаменатель. Если переменная стоит в знаменателе дроби, обе части сначала умножаются на этот знаменатель. Из a = b/c следует b = a·c, а c = b/a.

Приём 4 — квадрат и корень. Если переменная под квадратом — извлекается корень из обеих частей. Если переменная сама под корнем — обе части возводятся в квадрат. Из a = b² следует b = √a. Из a = √b следует b = a².

Важно. В физических формулах при извлечении квадратного корня берётся только положительное значение, поскольку время, масса, путь и модуль скорости не бывают отрицательными.

3. Когда переменная встречается несколько раз: квадратные уравнения

Иногда после раскрытия скобок и приведения подобных нужная переменная оказывается не один раз, а входит в уравнение и в первой, и во второй степени одновременно, например at² + v₀t − s = 0. Здесь четырёх приёмов уже недостаточно — это квадратное уравнение, и его нужно решать одним из двух способов.

Способ 1 — разложение на множители, если это возможно. Например, в уравнении t² − 6t + 8 = 0 подбираются два числа, сумма которых равна 6, а произведение равно 8 — это 2 и 4, поэтому уравнение раскладывается как (t − 2)(t − 4) = 0, откуда t = 2 или t = 4.

Частный случай — когда свободного члена нет вообще: в уравнении 2t² − 8t = 0 общий множитель 2t выносится за скобку: 2t(t − 4) = 0, откуда t = 0 или t = 4.

Способ 2 — формула дискриминанта, если множители не подбираются сразу. Для уравнения at² + bt + c = 0:

D = b² − 4ac, t = (−b ± √D) / (2a)

Если корней получается два (что для квадратного уравнения нормально), из физического смысла задачи обычно нужно выбрать один — например, только положительное время, или, если тело дважды побывало на одной высоте, могут быть нужны сразу оба корня.

Пример

Высота тела, брошенного вертикально вверх, меняется по закону h(t) = 20t − 5t² (в метрах). Найти, через какое время тело вернётся на землю.

Тело находится на земле, когда h = 0: 20t − 5t² = 0. Выносим общий множитель: 5t(4 − t) = 0, откуда t = 0 (это момент броска, а не приземления) или t = 4 с. Ответ: 4 секунды.

4. Разбор примеров на выражение переменной

Пример 1. Перенос, затем деление

Дано: v = v₀ + at. Выразить t.

Сначала переносим v₀: at = v − v₀. Затем делим на a:

t = (v − v₀)/a

Пример 2. Деление, затем квадратный корень

Дано: s = at²/2. Выразить t.

Умножаем обе части на 2: 2s = at². Делим на a: t² = 2s/a. Извлекаем корень:

t = √(2s/a)

Пример 3. Переменная под корнем

Дано: T = 2√l. Выразить l.

Здесь переменная не под квадратом, а под корнем — действие нужно отменять в обратную сторону: сначала избавиться от множителя 2 (разделить обе части на 2), а затем возвести обе части в квадрат:

T/2 = √l → (T/2)² = l

l = T²/4

5. Практика: 50 заданий

Задания сгруппированы по нарастанию сложности — от линейных уравнений до квадратных. Формулы взяты из школьного курса физики и из заданий формата ОГЭ по математике (линейные уравнения и «расчёты по формулам»).

Группа 1. Линейные уравнения

1. y = kx + b. Выразить x.
2. 2 − 3(2x + 2) = 5 − 4x. Найти x.
3. 3x + 5 + (x + 5) = (1 − x) + 4. Найти x.
4. −x − 2 + 3(x − 3) = 3(4 − x) − 3. Найти x.
5. −9(8 − 9x) = 4x + 5. Найти x.
6. 9 − 2(−4x + 7) = 7. Найти x.
7. 2x + 7 = 3(x − 1) + 4. Найти x.
8. 5(x − 2) − 3x = x + 1. Найти x.

Группа 2. Формулы с двумя-тремя действиями

1. v = v₀ + at. Выразить t.
2. v = v₀ + at. Выразить a.
3. x = x₀ + vt. Выразить v.
4. C = 6000 + 4100n. Выразить n.
5. Q = cm(t₂ − t₁). Выразить t₂.
6. A = UIt. Выразить I.
7. tf = 1,8·tc + 32 (перевод температуры из шкалы Цельсия в Фаренгейта). Выразить tc.
8. P = 2(a + b) — периметр прямоугольника. Выразить b.
9. Aобщ = A₁ + A₂ + A₃. Выразить A₂.
10. η = (Aполезн/Aзатр)·100% — КПД. Выразить Aзатр.

Группа 3. Квадрат и квадратный корень

1. s = at²/2. Выразить a.
2. s = at²/2. Выразить t.
3. Eк = mv²/2. Выразить v.
4. a = ω²R — центростремительное ускорение. Выразить R.
5. a = ω²R. Выразить ω.
6. T = 2√l — период колебаний маятника. Выразить l.
7. P = I²R — мощность тока. Выразить R.
8. P = I²R. Выразить I.
9. v² = v₀² + 2as. Выразить a.
10. v² = v₀² + 2as. Выразить v₀.

Группа 4. Формулы с квадратом в знаменателе и составные формулы

1. F = G·mM/r² — закон всемирного тяготения. Выразить m.
2. F = G·mM/r². Выразить r.
3. F = k·q₁q₂/r² — закон Кулона. Выразить q₁.
4. F = k·q₁q₂/r². Выразить r.
5. S = (a + b)/2 · h — площадь трапеции. Выразить h.
6. S = (a + b)/2 · h. Выразить a.
7. E = mv²/2 + mgh — полная механическая энергия. Выразить h.
8. E = mv²/2 + mgh. Выразить v.
9. 1/F = 1/d + 1/f — формула тонкой линзы. Выразить f.
10. m = ρ(V₁ + V₂). Выразить V₁.

Группа 5. Квадратные уравнения

1. Решить уравнение: t² − 5t + 6 = 0.
2. Решить уравнение: t² + 2t − 15 = 0 (из двух корней оставить только физически возможный — положительный).
3. Координата тела меняется по закону x(t) = 2t² − 8t (м). Найти моменты времени, когда тело окажется в начале координат.
4. Координата тела меняется по закону x(t) = t² − 6t + 8 (м). Найти моменты времени, когда координата тела равна нулю.
5. Высота тела, брошенного вертикально вверх, меняется по закону h(t) = 20t − 5t² (м). Найти время полёта до возвращения на землю.
6. Используя ту же формулу h(t) = 20t − 5t², найти оба момента времени, когда тело находится на высоте 15 м.
7. Решить уравнение: t² − 4t + 1 = 0 (множители не подбираются — воспользоваться формулой дискриминанта).
8. Из формулы пути s = v₀t + at²/2 выразить t в общем виде через v₀, a и s (полное решение квадратного уравнения относительно t, взять положительный корень).
9. Из формулы h = v₀t − gt²/2 выразить t в общем виде через v₀, g и h.
10. Площадь прямоугольника, одна сторона которого на 3 см больше другой, равна 40 см². Найти стороны прямоугольника.
11. Периметр прямоугольного участка равен 40 м, а его площадь — 96 м². Найти стороны участка.
12. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 132. Найти эти числа.

6. Ответы для самопроверки

Группа 1

1. x = (y − b)/k
2. x = −4,5
3. x = −1
4. x = 4
5. x = 1
6. x = 1,5
7. x = 6
8. x = 11

Группа 2 9. t = (v − v₀)/a 10. a = (v − v₀)/t 11. v = (x − x₀)/t 12. n = (C − 6000)/4100 13. t₂ = t₁ + Q/(cm) 14. I = A/(Ut) 15. tc = (tf − 32)/1,8 16. b = P/2 − a 17. A₂ = Aобщ − A₁ − A₃ 18. Aзатр = 100·Aполезн/η

Группа 3 19. a = 2s/t² 20. t = √(2s/a) 21. v = √(2Eк/m) 22. R = a/ω² 23. ω = √(a/R) 24. l = T²/4 25. R = P/I² 26. I = √(P/R) 27. a = (v² − v₀²)/(2s) 28. v₀ = √(v² − 2as)

Группа 4 29. m = F·r²/(G·M) 30. r = √(G·m·M/F) 31. q₁ = F·r²/(k·q₂) 32. r = √(k·q₁·q₂/F) 33. h = 2S/(a + b) 34. a = 2S/h − b 35. h = (2E − mv²)/(2mg) 36. v = √(2(E − mgh)/m) 37. f = Fd/(d − F) 38. V₁ = m/ρ − V₂

Группа 5 39. t = 2 или t = 3 40. t² + 2t − 15 = 0 → (t+5)(t−3)=0 → t = −5 или t = 3; физический ответ: t = 3 41. 2t(t − 4) = 0 → t = 0 (момент старта) или t = 4 42. (t − 2)(t − 4) = 0 → t = 2 или t = 4 43. 5t(4 − t) = 0 → t = 0 или t = 4; время полёта — 4 с 44. 5t² − 20t + 15 = 0 → t² − 4t + 3 = 0 → (t−1)(t−3)=0 → t = 1 с и t = 3 с (тело было на высоте 15 м дважды — на подъёме и на спуске) 45. D = 16 − 4 = 12; t = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3 → t ≈ 0,27 с или t ≈ 3,73 с 46. at² + v₀t − s = 0 → D = v₀² + 4as → t = (−v₀ + √(v₀² + 4as))/(2a), положительный корень берётся при условии a > 0 47. −(g/2)t² + v₀t − h = 0 → t = (v₀ ± √(v₀² − 2gh))/g; выбор знака зависит от того, какой из двух моментов (подъём или падение) нужен по условию 48. x(x+3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0 → D = 169 → x = 5 (второй корень −8 не подходит); стороны 5 см и 8 см 49. a + b = 20, ab = 96 → a² − 20a + 96 = 0 → D = 16 → a = 12 или a = 8; стороны 12 м и 8 м 50. n(n+1) = 132 → n² + n − 132 = 0 → D = 529 = 23² → n = 11; числа 11 и 12

7. Итог

• Формула — это уравнение: любое действие над одной частью повторяется над другой.
• Если в уравнении есть скобки, их нужно раскрыть и привести подобные слагаемые до того, как применять приёмы выражения переменной.
• Простые случаи (переменная встречается один раз) решаются последовательным применением четырёх приёмов: перенос слагаемого → деление на множитель → умножение на знаменатель → квадрат/корень — действия отменяются в порядке, обратном порядку их выполнения.
• Если переменная входит в уравнение и в первой, и во второй степени, это квадратное уравнение: оно решается либо разложением на множители (если множители угадываются), либо через дискриминант D = b² − 4ac и формулу корней t = (−b ± √D)/(2a).
• В физических задачах из двух корней квадратного уравнения выбирается тот, что имеет физический смысл, — а иногда, как в задаче о высоте тела в определённый момент, нужны оба корня сразу.